混沌理论1

　　什么是混沌理论混沌理论的主导思想是，宇宙本身处于混沌状态，在其中某一部分中似乎并无关联的事件间的冲突，会给宇宙的另一部分造成不可预测的后果。

　　混沌理论在许多科学学科中得到广泛应用，包括：数学、生物学、信息技术、经济学、工程学、金融学、哲学、物理学、政治学、人口学、心理学和机器人学。

　　混沌理论的发展背景混沌理论是对不规则而又无法预测的现象及其过程的分析。一个混沌过程是一个确定性过程，但它看起来是无序的、随机的。像许多其他知识一样，混沌和混沌行为的研究产生于数学和纯科学领域，之后被经济学和金融学引用。在这些领域里，由于人们想知道在某些自然现象背后是否存在着尚未被认识的规律，因而激发了人们对于混沌的研究。科学家已经注意到了某些现象，例如行星运动，是有稳定规律的，但其他的，比如像天气之类，则是反复无常的。因此，关键问题在于天气现象是否是随机的。曾经一度被认为是随机的后来又被证实是混沌的，这个问题激发了人们探索真理的热情。如果一个变量或一个过程的演进、或时间路径看似随机的，而事实上是确定的，那么这个变量或时间路径就表现出混沌行为。这个时间路径是由一个确定的非线性方程生成的。

　　在此，我们有必要介绍一下混沌理论的发展史。人们对于混沌动态学的最初认识应当归功于Weis(1991)，而Weis又是从几百年前从事天体力学的法国数学家Henry Poincare那里得到的启示。Poincare提出，由运动的非线性方程所支配的动态系统是非线性的。然而，由于那个时代数学工具的不足，他未能正式探究这个设想。

　　Poincare之后的很长一段时间，对于这个论题的研究趋于涅灭。然而，在20世纪60-70年代间，数学家和科学家们又重新开始了对这个论题的研究。一个名叫Stephen Smale的数学家用差分拓扑学发展了一系列的理论模型。气象学家Edward Lorenz设计了一个简单的方程组用来模拟气候，这个气候对于初始条件当中的变化极其敏感。生物学家RobertMay使用逻辑的差分方程在连续的时间过程中对人口水平建模。这个模型恰好是我们在这一章中后面要介绍的用来生成汇率中的混沌行为的模型。

　　从此，数学家们发展了一个非线性和混沌系统的理论，在其他许多领域(如物理、生物、气象)的科学家已经陆续揭示了混沌的现象。在一个时期内，大家都意识到数学家和科学家都在做同样一件事。更不要说，计算能力的提高使人们对于混沌和非线性过程的理解在总体上有了一个较大的提高。

　　当经济学家发现泥池理论能够揭示出某些传统的模型所无法处理的经济和金融现象时，他们也加入到这个前沿研究的浪潮中。例如，经济学家已经得出了这样的结论，即关于基础汇率模型的预测能力的经验数据不容乐观。形成这样一个悲观的结论，是由于这些模型都无法确切地描述出一个不规则的汇率变化到底是什么样的。经济学家对此的反应尚未达成一致。一方面，有些经济学家用消息(news)来解释这种变化，这样就使汇率变成不可预测的，因为汇率要由消息决定，而从消息的定义来看，它就是不可预测的；另一方面，有些经济学家始终没有放弃对汇率的不规则运动建模。显然，汇率不是由简单的确定性过程形成的。经济学家采取两种汇率预测模型：第一种方法是将复杂的汇率变化归因到以下模型中所包含的众多影响因素上，为此目的建立起了许多复杂的模型；第二种方法是基于这样一种假设，即认为潜在的趋势是存在的，并且是随机误差的。事实上，主流的认识是，汇率运动是由噪声支配的，因此我们的目标是要理解噪声的属性并预测它对汇率的作用。这两种方法在汇率预测方面尚未取得成功。

　　这两种方法的问题在于其线性化的假设。这种假设的含义是汇率以一种线性的方式回应决定性变量(自变量)的变化，或者是由单变量的线性过程产生的。在方**中，线性回归技术业已成熟，而对于非线性规范的工具迄今为止仍然是很缺乏的，这就造**们更愿意使用线性关系来处理问题。但是，我们没有理由说它们必然是线性的关系。如果汇率是由非线性过程产生的，那么给定某种条件，汇率变化将表现为完全随机，正如它在现实中所表现的那样。这就是非线性的混池行为：它是确定的，但不是随机的。Clyde和Osler建议，过度集中在线性，而排斥了其他的功能性特点，就像我们打赌隔壁房间的那只不知名的动物是大象还是别的什么动物。

　　混沌理论的特性

　　混沌理论有以下几个特性：

　　(1)随机性．体系处于混沌状态是由体系内部动力学随机性产生的不规则性行为，常称之为内随机性．例如，在一维非线性映射中，即使描述系统演化行为的数学模型中不包含任何外加的随机项，即使控制参数、韧始值都是确定的，而系统在混吨区的行为仍表现为随机性．这种随机性自发地产生于系统内部，与外随机性有完全不同的来源与机制，显然是确定性系统内部一种内在随机性和机制作用．体系内的局部不稳定是内随机性的特点，也是对初值敏感性的原因所在.

　　(2)敏感性．系统的混沌运动，无论是离散的或连续的，低维的或高维的，保守的或耗散的。时间演化的还是空间分布的，均具有一个基本特征，即系统的运动轨道对初值的极度敏感性．这种敏感性，一方面反映出在非线性动力学系统内，随机性系统运动趋势的强烈影响；另一方面也将导致系统长期时间行为的不可预测性．气象学家洛仑兹提出的所谓蝴蝶效应就是对这种敏感性的突出而形象的说明.

　　(3)分维性．混沌具有分维性质，是指系统运动轨道在相空间的几何形态可以用分维来描述。例如Koch雪花曲线的分维数是1.26；描述大气混沌的洛伦兹模型的分维数是2.06体系的混沌运动在相空间无穷缠绕、折叠和扭结，构成具有无穷层次的自相似结构。

　　(4)普适性．当系统趋于混沌时，所表现出来的特征具有普适意义．其特征不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而变化．这类系统都与费根鲍姆常数相联系．这是一个重要的普适常数δ＝4．669201609l0299097…

　　(5)标度律．混沌现象是一种无周期性的有序态，具有无穷层次的自相似结构，存在无标度区域．只要数值计算的精度或实验的分辨率足够高，则可以从中发现小尺寸混沌的有序运动花样，所以具有标度律性质．例如，在倍周期分叉过程中，混沌吸引子的无穷嵌套自相似结构，从层次关系上看，具有结构的自相似，具备标度变换下的结构不变性，从而表现出有序性。系统的三种不同形态混沌学家们仍然对系统的三种不同形态做出了重要区分。